Обычно я думаю, что уж в этот-то раз ответ на вопрос окажется кратким, но всегда он обрастает кучей подробностей и деталей, про которые хочется рассказать. В результате у меня уже штук десять задуманных, но не сделанных или недописанных ответов. Сегодня, наконец, удалось дописать про гармонию, хотя некоторыми мелочами пришлось пренебречь.
Краткий вариант ответа: слово гармония пришло через посредство латинского harmonia и аналогичных слов в новоевропейских языках из древнегреческого ἁρμονία, которое уже во времена Платона имело привычные нам значения, а исходным значением было «связь, соединение». Теперь подробности и детали.
Сначала о фонетике. Откуда согласный в начале слова? Он был и в древнегреческом, но для него не имелось отдельной буквы. Над альфой мы видим значок в виде перевернутой запятой (ἁ, аналогично в других словах может быть ἑ, ὁ, ὑ, ἱ, ὡ, ἡ). Это так называемое «густое придыхание», звучавшее или как h в английском слове horse, или как звонкий фрикативный звук (“украинское г”). Если знак над начальным гласным в греческом слове смотрит в другую сторону (ἀ, ἐ, ὀ, ὐ, ἰ, ὠ, ἠ), то этого согласного в начале слова нет. В заимствованиях из древнегреческого в латынь густое придыхание передается буквой h (historia, hexameter, harmonia). Постепенно густое придыхание в греческом исчезало. Процесс его исчезновения греки называли псилосис «облысение». Облысение происходило неравномерно в разных диалектах, но к II – III векам нашей эры густое придыхание пропало окончательно. В русских словах греческого происхождения следы густого придыхания могут отсутствовать (история, эллины, ипподром) или оно передается как Г (Гермес, гекзаметр, гиппопотам), как правило, это происходит в словах, пришедших через латынь. Бывают дублеты, например, имя Гомер сохраняет густое придыхание, а старинный вариант Омир – нет, потому что он был взят напрямую из средневекового греческого.
Теперь о значении. Изначально ἁρμονία это ‘скрепление, связь, соединение’. Причем в физическом смысле. У Гомера слово можно встретить в, видимо, наиболее раннем, весьма конкретном плотницко-кораблестроительном значении. Одиссей, собираясь свалить с острова Калипсо, сооружает плот, причем не какой-нибудь, а солидный, с мачтой и бортом.
Бревна он все просверлил и приладил одно ко другому,
Брусьями бревна скрепил и клинья забил между ними.
…γόμφοισιν δ᾽ ἄρα τήν γε καὶ ἁρμονίῃσιν ἄρασσεν. (5,247)
Точно такого размера, какого обычно готовит
Дно корабля грузового кораблестроитель искусный (перевод В. Вересаева)
В описании конструкции словом ἁρμονία (во множественном числе) обозначаются поперечные доски, которые связывают бревна плота. В словарях ἁρμονία в плотницком значении переводится как «перекладины, скрепы». «Гомеровский словарь к “Илиаде” и “Одиссее”» Владимира Краузе (1880), предназначенный для русских гимназистов, сопровождает слово ἁρμονία иллюстрацией, где ἁρμονία обозначена буквой d.

Термины разных ремесел нередко превращаются в слова с абстрактным значением. Скрепы становятся не только деревянными, но и духовными. То же случилось и со словом Но уже у Гомера оно встречаются в значении «договор, соглашение». Ахилл и Гектор договариваются перед последним поединком:
τοὶ γὰρ ἄριστοι / μάρτυροι ἔσσονται καὶ ἐπίσκοποι ἁρμονιάων:
…будут / боги свидетели клятв и хранители наших условий (22, 255, перевод Н. Гнедича). Со временем возникало всё больше значений производных: ‘порядок, установление’, ‘душевный склад, характер’, наконец, ‘строй, лад в музыке’ и ‘соразмерность, слаженность, гармония (в привычном нам смысле)’.
Греческое ἁρμονία восходит к индоевропейскому корню, означавшему «связь, соединение». Среди других его потомков латинское artus «сустав», санскритское ṛtú «срок», «время года», «порядок, уклад, правило», древнеармянское ard (արդ) «украшение, убранство; форма, очертание; порядок».
Неожиданным для меня оказалось имя Ἁρμονίδης, производное от слова ἁρμονία. Гармонид (Армонид), то есть сын Гармона (Армона). «Армониевич», как переводит словарь Краузе. Упоминается оно в «Илиаде» в связи с Фереклом, о котором говорится, что он искусный троянский кораблестроитель и именно он построил корабли, на которых Парис плавал за Еленой. В самом сюжете «Илиады» роль Ферекла невелика. Его убивает критянин Мерион, и смертельное ранение описано в таких деталях, что цитировать полностью я не буду. Если хотите, прочитаете сами. Нас интересует, что Ферекл был назван Гармонидом.
Μηριόνης δὲ Φέρεκλον ἐνήρατο, τέκτονος υἱὸν / Ἁρμονίδεω (5,60)
Вождь Мерион Ферекла повергнул, Гармонова сына, / Зодчего мужа (перевод Н. Гнедича)
Но здесь есть сложность. Если вы обратитесь к справочникам, то там чаще всего Ферекл будет назван не сыном Гармона, как в переводе Гнедича, а сыном Тектона. Дело в том, что, как заметил еще Аристарх Самофракийский, комментировавший Гомера во II веке до нашей эры, слова τέκτονος υἱὸν Ἁρμονίδεω можно понимать по-разному. Или «(убил) плотника, сына Гармона», или «(убил) сына Тектона Гармонида». В данном случае слово τέκτων «плотник, строитель» оказывается именем собственным, и возникает Тектон Гармонид «Плотник Скрепович», а Гармон становится дедом Ферекла. Трудовая династия плотников и корабелов. Слово Тектон уже бесспорно в качестве имени встречается у Гомера в «Одиссее». На острове феаков Одиссей видит в числе местных жителей Полинея сына Тектона (υἱὸς Πολυνήου Τεκτονίδαο 8, 114, кстати, там целый список феаков, имена которых связаны с мореплаванием). Понимание темного отрывка, при котором Гармон не отец, а дед Ферекла, широко распространено. Его придерживались и знаменитый комментатор XII века Евстафий Солунский, и автор прозаического перевода «Илиады» на английский Огастес Мюррей (Meriones then killed Phereclus, son of Tecton, / Harmon's son). Аристарх Самофракийский указывал на еще одно возможное понимание: «(убил) сына Армонида-плотника». Хотя это понимание плохо согласуется с дальнейшим описанием плотницких талантов самого Ферекла, именно его предпочел автор итальянского перевода Винченцо Монти (Prole del fabbro Armónide, Fereclo / Da Merïon fu spento).
Напоследок про музыкальные инструменты. Слово гармоника (нем. Harmonika) представляет собой в конечном итоге субстантивированное латинское прилагательное женского рода harmonica от harmonicus «созвучный, соразмерный» (из греческого ἁρμονικός). В Западной Европе этим словом первоначально называли стеклянную гармонику (нем. Glasharmonika) – музыкальный инструмент, в котором звук извлекается прикосновением пальца к вращающимся увлажненным стеклянным полусферам. Возможно, при выборе названия повлияла античная концепция «музыки небесных сфер» (ἁρμονία ἐν κόσμῳ). Вскоре оно было перенесено на другие инструменты: Mundharmonika «губная гармоника» и Ziehgarmonika «растягиваемая гармоника».